Aturan Laplace adalah metode yang memungkinkan Anda untuk dengan cepat menghitung determinan dari matriks persegi dengan dimensi 3 × 3 atau lebih dengan cara serangkaian ekspansi rekursif.
Dengan kata lain, aturan Laplace memfaktorkan matriks awal menjadi matriks berdimensi lebih rendah dan menyesuaikan tandanya berdasarkan posisi unsur dalam matriks.
Metode ini dapat dilakukan dengan menggunakan baris atau kolom.
Artikel yang direkomendasikan: matriks, tipologi matriks dan determinan matriks.
Rumus aturan Laplace
Diberikan sembarang matriks Z mxn berdimensi mxn, di mana m = n, mengembang terhadap baris ke-i, maka:
- D ij adalah determinan yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-i dari Z mxn .
- M ij adalah i, j-th terkecil . Determinan D ij sebagai fungsi dari M ij disebut kofaktor ke-i, ke-j dari matriks Z mxn .
- a adalah tanda pengaturan posisi.
Contoh teoretis dari aturan Laplace
Kita mendefinisikan A 3 × 3 sebagai:
- Mari kita mulai dengan unsur pertama di 11 . Kita memarut baris dan kolom yang membentuk 11 . Unsur-unsur yang tetap tanpa kisi-kisi, akan menjadi yang pertama minor penentu dikalikan dengan 11 .
- Kita melanjutkan dengan unsur kedua dari baris pertama, yaitu 12 . Kita mengulangi prosesnya: kita memarut baris dan kolom yang berisi 12 .
Kita menyesuaikan tanda anak di bawah umur:
Kita menambahkan determinan minor kedua ke hasil sebelumnya dan membentuk deret ekspansi sedemikian rupa sehingga:
- Kita melanjutkan dengan unsur ketiga dari baris pertama, yaitu ke 13 . Kita mengulangi prosesnya: kita memarut baris dan kolom yang berisi 13 .
Kita menambahkan determinan minor ketiga ke hasil sebelumnya dan kita memperluas deret ekspansi sedemikian rupa sehingga:
Karena tidak ada lagi unsur yang tersisa di baris pertama, maka kita menutup proses rekursif. Kita menghitung determinan minor .
Dengan cara yang sama seperti unsur dari baris pertama telah digunakan, metode ini juga dapat diterapkan dengan kolom.
Contoh praktis aturan Laplace
Kita mendefinisikan A 3 × 3 sebagai:
- Mari kita mulai dengan unsur pertama r 11 = 5. Kita memarut baris dan kolom yang membentuk 11 = 5. Unsur-unsur yang tidak diparut akan menjadi determinan minor pertama dikalikan dengan 11 = 5.
- Kita melanjutkan dengan unsur kedua dari baris pertama, yaitu, r 12 = 2. Kita mengulangi prosesnya: kita memarut baris dan kolom yang berisi r 12 = 2.
Kita menyesuaikan tanda anak di bawah umur:
Kita menambahkan determinan minor kedua ke hasil sebelumnya dan membentuk deret ekspansi sedemikian rupa sehingga:
- Kita melanjutkan dengan unsur ketiga dari baris pertama, yaitu, r 13 = 3. Kita mengulangi prosesnya: kita menggores baris dan kolom yang berisi r 13 = 3.
Kita menambahkan determinan minor ketiga ke hasil sebelumnya dan kita memperluas deret ekspansi sedemikian rupa sehingga:
Determinan matriks R 3 × 3 adalah 15.