Pertidaksamaan Chebyshev adalah teorema yang digunakan dalam statistik yang memberikan perkiraan konservatif ( interval kepercayaan ) dari probabilitas bahwa variabel acak dengan varians hingga terletak pada jarak tertentu dari harapan matematis atau meannya.
Ekspresi formalnya adalah sebagai berikut:
X = Nilai yang diperkirakan
μ = Matematika harapan dari nilai estimasi
Ϭ = Standar deviasi dari nilai yang diharapkan
k = Jumlah simpangan baku
Mulai dari ekspresi umum ini dan mengembangkan bagian yang tetap dalam nilai absolut, kita akan memiliki yang berikut:
Jika kita perhatikan ekspresi sebelumnya, dapat dilihat bahwa bagian di sebelah kiri tidak lebih dari selang kepercayaan . Ini memberi kita batas bawah dan batas atas untuk nilai taksiran. Oleh karena itu, pertidaksamaan Chebyshev memberi tahu kita probabilitas minimum bahwa parameter populasi berada dalam sejumlah standar deviasi tertentu di atas atau di bawah rata-ratanya. Atau dengan kata lain, ini memberi kita probabilitas bahwa parameter populasi berada dalam interval kepercayaan itu.
Pertidaksamaan Chebyshev memberikan batas perkiraan untuk nilai yang diestimasi. Meskipun memiliki tingkat ketidaktepatan tertentu, ini adalah teorema yang sangat berguna karena dapat diterapkan ke berbagai variabel acak terlepas dari distribusinya. Satu-satunya batasan untuk dapat menggunakan pertidaksamaan ini adalah bahwa k harus lebih besar dari 1 (k> 1).
Pertidaksamaan matematis
Contoh penerapan pertidaksamaan Chebyshev
Misalkan kita adalah pengelola dana investasi. Portofolio yang kita kelola memiliki return rata-rata 8,14% dan standar deviasi 5,12%. Untuk mengetahui, misalnya, berapa persentase pengembalian kita setidaknya 3 standar deviasi dari profitabilitas rata-rata kita, kita hanya akan menerapkan rumus ekspresi 2 sebelumnya.
k = 1,96
Mengganti nilai k: 1- (1 / (1,96 ^ 2)) = 0,739 = 73,9%
Ini berarti bahwa 73,9% dari hasil berada pada interval kepercayaan yang terletak pada standar deviasi 1,96 dari mean.
Mari kita lakukan contoh sebelumnya untuk nilai selain k.
k = 2,46
k = 3
Mengganti nilai k: 1- (1 / (2,46 ^ 2)) = 0,835 = 83,5%
Mengganti nilai k: 1- (1 / (3 ^ 2)) = 0,889 = 88,9%
Ada 83,5% data yang berada pada jarak 2,46 standar deviasi dari mean dan 88,9% yang berada dalam 3 standar deviasi dari mean.
Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, mudah untuk menyimpulkan bahwa semakin tinggi nilai K (semakin besar penyimpangan nilai taksiran dari rata-ratanya), semakin besar probabilitas bahwa variabel acak berada dalam interval terbatas.
Kurtosis
teorema limit pusat
Ketidaksamaan