Model ARMA adalah caral autoregressive stasioner dimana variabel independen mengikuti tren stokastik dan error term stasioner.
Dengan kata lain, caral ARMA menggabungkan autokorelasi dan caral rata-rata bergerak dalam regresinya.
Artikel yang direkomendasikan: teori jalan acak, mean terkondisi, autoregresi.
Arti dari ARMA
Model ARMA, dari bahasa Inggris, AutoRegressive Moving Average, dibagi menjadi dua bagian:
- Autoregressive : Variabel dependen mengalami regresi sendiri dalam periode waktu t .
- Moving Average : Kemunduran diwakili oleh proses acak.
caral AR
Secara matematis
- Kita mulai dari caral autoregressive AR (p):
Di mana:
Dengan kata lain, istilah kesalahan mengikuti proses stokastik (variabel acak).
- Kita menetapkan persamaan berikut:
- Kita mengganti persamaan sebelumnya di AR (p) dan memperoleh:
- Kita mendefinisikan polinomial baru yang bergantung pada R:
Kemudian,
Jika kita mengalikan polinomial baru dengan X t dan melewatkan semua parameter dan regresi ke kiri yang sama, kita akan memperoleh AR awal (p).
Dari caral autoregressive kita mendapatkan persamaan terakhir:
Inilah kontribusi caral autoregressive terhadap caral ARMA.
Model rata-rata bergerak
Model rata-rata bergerak adalah autoregresi dimana regressornya adalah error terms dari setiap periode t .
Secara matematis
- Kita mulai dari caral autoregressive AR (p) dimana regressornya adalah error term:
Seperti caral autoregressive, istilah kesalahan mengikuti proses stokastik (variabel acak) sedemikian rupa sehingga:
Model rata-rata bergerak selalu stasioner, yaitu variabel bebas (lagged error terms) adalah variabel acak. Dengan kata lain, error term periode sebelumnya tidak bergantung pada error term saat ini dan memiliki distribusi probabilitas (identik) yang sama dengan mean 0 dan conditional variance.
- Kita menetapkan persamaan berikut:
- Kita mengganti persamaan sebelumnya dalam AR (p) dari istilah kesalahan dan kita memperoleh:
- Kita mendefinisikan polinomial baru yang bergantung pada E:
Kita mengambil faktor umum:
Dari caral rata-rata bergerak kita dibiarkan dengan persamaan titik 4:
Model ARMA (p, q)
Secara matematis
Model deret waktu autoregresif umum dengan rata-rata bergerak dari p suku autoregresif dan q suku rata-rata bergerak dinyatakan sebagai:
Jangan panik! Bisakah kita menyederhanakan sesuatu?
Anda selalu dapat menyederhanakan banyak hal. Kita ingat persamaan yang telah kita soroti sebelumnya:
Model autoregresif
Model rata-rata bergerak
Jadi, kita dapat melihat bahwa caral ARMA hanyalah kombinasi dari caral autoregressive dan caral rata-rata bergerak (ditandai dengan warna kuning).