Transformasi linier matriks adalah operasi linier melalui matriks yang memodifikasi dimensi awal dari vektor yang diberikan.
Dengan kata lain, kita dapat memodifikasi dimensi vektor dengan mengalikannya dengan matriks apa pun.
Transformasi linier adalah dasar dari vektor dan nilai eigen dari suatu matriks karena mereka bergantung secara linier satu sama lain.
Artikel yang direkomendasikan: operasi dengan matriks , vektor dan nilai eigen .
Secara matematis
Kita mendefinisikan setiap matriks C berdimensi 3 × 2 dikalikan dengan vektor V berdimensi n = 2 sehingga V = (v 1 , v 2 ).
Dari dimensi apa vektor hasil menjadi?
Vektor yang dihasilkan dari perkalian matriks C 3 × 2 dengan vektor V 2 × 1 akan menjadi vektor baru V ‘dari dimensi 3.
Perubahan dimensi vektor ini disebabkan oleh transformasi linier oleh matriks C .
Contoh praktis
Diketahui matriks bujur sangkar R berdimensi 2 × 2 dan vektor V berdimensi 2.
Transformasi linier dari dimensi vektor V adalah:
di mana dimensi awal vektor V adalah 2 × 1 dan sekarang dimensi akhir vektor V adalah 3 × 1. Perubahan dimensi ini dicapai dengan perkalian matriks R .
Bisakah transformasi linier ini direpresentasikan secara grafis? Tentu saja!
Kita akan mewakili hasil vektor V ‘dalam sebuah pesawat.
Kemudian:
V = (2,1)
V’= (6,4)
Secara grafis
Vektor eigen menggunakan representasi grafis
Bagaimana kita dapat menentukan bahwa suatu vektor adalah vektor eigen dari suatu matriks hanya dengan melihat grafiknya?
Kita mendefinisikan matriks D dimensi 2 × 2:
Apakah vektor v 1 = (1,0) dan v 2 = (2,4) merupakan vektor eigen dari matriks D ?
Prosedur
- Mari kita mulai dengan vektor pertama v 1 . Kita melakukan transformasi linier sebelumnya:
Jadi, jika vektor v 1 benar-benar merupakan vektor eigen dari matriks D , maka vektor v 1 ‘dan vektor v 1 yang dihasilkan harus berada pada garis yang sama.
Kita mewakili v 1 = (1,0) dan v 1 ‘= (3,0).
Karena v 1 dan v 1 ‘berada pada garis yang sama, v 1 adalah vektor eigen dari matriks D .
Secara matematis, terdapat konstanta h (nilai eigen) sedemikian sehingga:
- Kita melanjutkan dengan vektor kedua v 2 . Kita mengulangi transformasi linier sebelumnya:
Jadi, jika vektor v 2 benar-benar merupakan vektor eigen dari matriks D , vektor yang dihasilkan v 2 ‘dan vektor v 2 harus berada pada garis yang sama (seperti grafik sebelumnya).
Kita mewakili v 2 = (2,4) dan v 2 ‘= (2,24).
Karena v 2 v 2 ‘non Demikian pula, v 2 adalah vektor eigen dari matriks D .
Secara matematis, tidak ada konstanta h (nilai eigen) sehingga: