Domain dan Range untuk Fungsi y = √x

Dalam dunia matematika, terutama ketika membahas fungsi, dua konsep yang sangat penting adalah domain dan range. Mari kita fokus pada fungsi yang sedikit lebih kompleks, yaitu fungsi y = √(x – 1). Fungsi ini memberikan kita pemahaman yang lebih dalam mengenai bagaimana perubahan dalam nilai input mempengaruhi nilai output, sekaligus menekankan pentingnya memahami batasan yang ada.

Memahami Domain dari Fungsi y = √(x – 1)

Domain dari suatu fungsi adalah himpunan semua nilai input (x) yang dapat diterima tanpa menghasilkan hasil yang tidak valid. Dalam kasus fungsi y = √(x – 1), kita perlu mempertimbangkan kondisi di mana akar kuadrat didefinisikan. Akar kuadrat hanya dapat diambil dari bilangan non-negatif. Oleh karena itu, kita harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar, yaitu (x – 1), harus lebih besar dari atau sama dengan nol.

Secara matematis, kita dapat menuliskan ketentuan ini sebagai berikut:

   

Dengan menambahkan 1 pada kedua sisi, kita mendapatkan:

   

Ini menunjukkan bahwa domain dari fungsi y = √(x – 1) adalah semua nilai x yang lebih besar atau sama dengan 1. Dalam bentuk interval, kita dapat mengekspresikannya sebagai [1, ∞). Ini berarti bahwa titik awal dari domain adalah 1, dan fungsi ini menerima semua nilai x yang lebih besar dari 1, tanpa batas.

Menganalisis Range dari Fungsi y = √(x – 1)

Setelah mengetahui domain, langkah berikutnya adalah menganalisis range dari fungsi ini. Range mengacu pada himpunan semua nilai output (y) yang mungkin dihasilkan oleh fungsi ketika kita memasukkan nilai-nilai dari domain. Mari kita lihat bagaimana nilai y berubah seiring perubahan nilai x.

Ketika x = 1, kita mendapatkan:

   

Ini berarti bahwa nilai minimum dari y adalah 0. Ketika kita mulai memasukkan nilai x yang lebih besar dari 1, nilai (x – 1) akan menjadi positif, dan oleh karena itu, nilai y juga akan meningkat. Misalnya, jika kita mengambil x = 2, maka:

   

Begitu juga jika kita mengambil x = 5, kita mendapatkan:

   

Dari contoh ini, kita dapat melihat bahwa seiring dengan bertambahnya nilai x, nilai y juga terus meningkat. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa:

Range: y ≥ 0

Kita menemukan bahwa nilai y mulai dari 0 dan dapat terus meningkat tanpa batas. Dengan kata lain, untuk setiap nilai x dalam domain yang lebih besar dari 1, nilai y akan selalu lebih besar atau sama dengan nol. Dalam bentuk interval, range ini dapat dinyatakan sebagai [0, ∞).

Menggambarkan Grafik Fungsi y = √(x – 1)

Untuk memberikan gambaran visual yang lebih jelas mengenai domain dan range, mari kita lihat grafik dari fungsi y = √(x – 1). Grafik ini dimulai dari titik (1, 0) dan terus meningkat ke kanan. Sebagai tambahan, bagian kiri grafik tidak ada, karena tidak ada nilai x yang kurang dari 1 dalam domain.

Di sumbu x, kita melihat bahwa ketika x bernilai 1, y juga bernilai 0. Namun, ketika kita bergerak ke kanan—misalnya di titik x = 2, y menjadi 1, dan di titik x = 5, y menjadi 2. Grafik ini menunjukkan bahwa fungsi ini memiliki kemiringan positif yang terus meningkat, menciptakan kurva yang halus dan berkelanjutan.

Kesimpulan: Domain dan Range dalam Konteks Fungsi y = √(x – 1)

Dalam pembahasan ini, kita telah membahas dua aspek fundamental dari fungsi y = √(x – 1). Domainnya adalah x yang lebih besar atau sama dengan 1, sementara range-nya adalah y yang lebih besar atau sama dengan 0. Pemahaman yang mendalam mengenai domain dan range tidak hanya membantu kita dalam memahami fungsi ini, tetapi juga merupakan kunci untuk menjelajahi konsep-konsep yang lebih kompleks dalam matematika.

Dengan pengetahuan ini, kita dapat lebih percaya diri dalam menganalisis fungsi lainnya dan menerapkan konsep ini dalam berbagai konteks, baik dalam dunia akademis maupun dalam aplikasi praktis di kehidupan sehari-hari. Menguasai domain dan range adalah langkah penting dalam perjalanan kita sebagai pembelajar matematika yang lebih canggih.