Polinomial Taylor adalah aproksimasi polinomial dari suatu fungsi yang terdiferensial n kali pada suatu titik tertentu.
Dengan kata lain, polinomial Taylor adalah jumlah hingga turunan lokal yang dievaluasi pada titik tertentu.
Secara matematis
Kita mendefinisikan:
f (x): fungsi dari x .
f (x 0 ): fungsi x pada titik tertentu x 0 . Secara formal tertulis:
f (n) (x): turunan ke- n dari fungsi f (x).
Kegunaan
Ekspansi Taylor umumnya diterapkan pada aset dan produk keuangan di mana harga dinyatakan sebagai fungsi non-linier.
Misalnya, harga sekuritas utang jangka pendek adalah fungsi non-linier yang bergantung pada suku bunga . Contoh lain adalah opsi , di mana faktor risiko dan profitabilitas adalah fungsi non-linier. Perhitungan durasi ikatan adalah polinomial Taylor derajat pertama.
Contoh polinomial Taylor
Kita ingin mencari orde kedua dari aproksimasi Taylor dari fungsi f (x) pada titik x 0 = 1.
- Kita membuat turunan yang relevan dari fungsi f (x).
Dalam hal ini, mereka meminta kita sampai ke orde kedua, jadi kita akan membuat turunan pertama dan kedua dari fungsi f (x):
- Turunan pertama:
- Turunan kedua:
- Kita mensubstitusi x 0 = 1 dalam f (x), f ‘(x) dan f’ ‘(x):
- Setelah kita mendapatkan nilai turunan di titik x 0 = 1, kita substitusikan ke dalam aproksimasi Taylor:
Kita memperbaiki polinomial sedikit:
Memeriksa nilai
Pendekatan Taylor akan memadai semakin dekat nilainya dengan x 0 . Untuk memeriksa ini, kita mengganti nilai yang mendekati x 0 baik dalam fungsi asli maupun dalam pendekatan Taylor sebelumnya:
Ketika x 0 = 1
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Ketika x 0 = 1,05
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Ketika x 0 = 1,10
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Dalam kasus pertama ketika x 0 = 1, kita melihat bahwa kedua fungsi asli dan Taylor pendekatan memberi kita hasil yang sama. Hal ini disebabkan komposisi polinomial Taylor yang telah kita buat menggunakan derivatif lokal. Derivatif ini telah dievaluasi pada titik tertentu, x 0 = 1, untuk mendapatkan nilai dan menciptakan polinomial. Jadi jauh lebih jauh dari titik tertentu, x 0 = 1, semakin sedikit yang sesuai perkiraan akan untuk fungsi nonlinear asli. Dalam kasus di mana x 0 = 1,05 dan x 0 = 1.10 ada perbedaan yang signifikan antara hasil dari fungsi asli dan pendekatan Taylor.
Tapi… perbedaannya sangat kecil, bukan?
Representasi polinomial Taylor
Jika kita memperpanjang ekstrem (di mana pendekatan bergerak menjauh dari x 0 = 1):
Sepintas mungkin tampak tidak penting tetapi ketika kita mengerjakan grafik dan membuat perkiraan, sangat penting untuk memperhitungkan setidaknya empat tempat desimal pertama. Dasar dari aproksimasi adalah presisi.