Vektor eigen adalah vektor dikalikan dengan nilai eigen dalam transformasi linier suatu matriks. Nilai eigen adalah konstanta yang mengalikan vektor eigen dalam transformasi linier suatu matriks.
Dengan kata lain, vektor eigen menerjemahkan informasi dari matriks asli ke dalam perkalian nilai dan konstanta. Nilai eigen adalah konstanta yang mengalikan vektor eigen dan berpartisipasi dalam transformasi linier dari matriks asli.
Meskipun namanya dalam bahasa Spanyol sangat deskriptif, dalam bahasa Inggris, eigenvectors disebut eigenvectors dan eigenvalues , eigenvalues .
Artikel yang direkomendasikan: tipologi matriks, matriks terbalik, determinan matriks.
Vektor Sendiri
Vektor eigen adalah himpunan unsur yang dengan mengalikan konstanta apa pun, setara dengan perkalian matriks asli dan himpunan unsur.
Secara matematis, sebuah vektor eigen V = (v 1 ,…, v n ) dari sebuah matriks persegi Q adalah sembarang vektor V yang memenuhi ekspresi berikut untuk setiap konstanta h :
QV = hV
Nilai sendiri
Konstanta h adalah nilai eigen yang dimiliki oleh vektor eigen V .
Nilai eigen adalah akar-akar real (akar-akar yang memiliki bilangan real sebagai solusi) yang kita temukan melalui persamaan karakteristik.
Karakteristik nilai eigen
- Setiap nilai eigen memiliki vektor eigen tak terhingga karena ada bilangan real tak terhingga yang dapat menjadi bagian dari setiap vektor eigen.
- Mereka adalah skalar, mereka bisa menjadi bilangan kompleks (tidak nyata) dan mereka bisa identik (lebih dari satu nilai eigen yang sama).
- Ada nilai eigen sebanyak jumlah baris ( m ) atau kolom ( n ) memiliki matriks asli.
Vektor dan nilai eigen
Ada hubungan ketergantungan linier antara vektor dan nilai eigen karena nilai eigen mengalikan vektor eigen.
Secara matematis
Jika V adalah vektor eigen dari matriks Z dan h adalah nilai eigen dari matriks Z , maka hV adalah kombinasi linier antara vektor dan nilai eigen.
Fungsi karakteristik
Fungsi karakteristik digunakan untuk mencari nilai eigen dari matriks Z persegi.
Secara matematis
(Z – hl) V = 0
Dimana Z dan h didefinisikan di atas dan I adalah matriks identitas.
Ketentuan
Untuk menemukan vektor dan nilai eigen suatu matriks, hal-hal berikut harus dipenuhi:
- Matriks kuadrat Z : jumlah baris ( m ) sama dengan jumlah kolom ( n ).
- matriks Z nyata. Kebanyakan matriks yang digunakan dalam keuangan memiliki akar real. Apa keuntungan menggunakan akar real? Nah, nilai eigen dari matriks tidak akan pernah menjadi bilangan kompleks, dan itu, teman-teman, banyak memecahkan hidup kita.
- Matriks tak-terbalik ( Z – hI ) : determinan = 0. Kondisi ini membantu kita untuk selalu menemukan vektor eigen selain nol. Jika kita menemukan vektor eigen sama dengan 0, maka perkalian antara nilai dan vektor eigen akan menjadi nol.
Contoh praktis
Kita menganggap bahwa kita ingin menemukan vektor dan nilai eigen dari matriks Z berdimensi 2 × 2:
- Kita mensubstitusi matriks Z dan I ke dalam persamaan karakteristik:
- Kita memperbaiki faktor-faktornya:
- Kita mengalikan unsur seolah-olah kita sedang mencari determinan matriks.
- Solusi persamaan kuadrat ini adalah h = 2 dan h = 5. Dua nilai eigen karena jumlah baris atau kolom matriks Z adalah 2. Jadi, kita telah menemukan nilai eigen matriks Z yang pada gilirannya membuat determinan 0.
- Untuk menemukan vektor eigen kita harus menyelesaikan:
- Misalnya, (v 1 , v 2 ) = (1,1) untuk h = 2 dan (v 1 , v 2 ) = (- 1,2) untuk h = 5: