Ekspektasi matematis dari variabel acak X adalah angka yang menyatakan nilai rata-rata dari fenomena yang diwakili oleh variabel ini.
Ekspektasi matematis, juga disebut nilai ekspektasi, sama dengan jumlah peluang terjadinya suatu kejadian acak, dikalikan dengan nilai kejadian acak tersebut. Dengan kata lain, itu adalah nilai rata-rata dari kumpulan data. Ini, dengan mempertimbangkan bahwa istilah ekspektasi matematis diciptakan oleh teori probabilitas.
Sedangkan dalam matematika, nilai rata-rata dari suatu peristiwa yang telah terjadi disebut mean matematika. Dalam distribusi diskrit dengan probabilitas yang sama di setiap kejadian, rata- rata aritmatika sama dengan ekspektasi matematis.
Contoh ekspektasi matematis
Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahaminya.
Mari kita bayangkan sebuah koin. Dua kepala, kepala dan ekor. Apa harapan matematis (nilai yang diharapkan) yang akan muncul?
Ekspektasi matematis akan dihitung sebagai probabilitas bahwa, dengan melempar koin berkali-kali, koin itu akan muncul.
Karena koin hanya dapat mendarat di salah satu dari dua posisi tersebut dan keduanya memiliki peluang yang sama untuk keluar, kita akan mengatakan bahwa ekspektasi matematis bahwa koin akan keluar adalah satu dari dua, atau sama, 50% dari waktu.
Kita akan melakukan tes dan kita akan melempar koin 10 kali. Misalkan koin itu sempurna.
Putaran dan hasil:
- Wajah.
- Menyeberang.
- Menyeberang.
- Wajah.
- Menyeberang.
- Wajah.
- Wajah.
- Wajah.
- Menyeberang.
- Menyeberang.
Berapa kali itu menjadi kepala (kita menghitung C)? 5 kali Berapa kali ekornya keluar (kita hitung tanda X)? 5 kali. Probabilitas menjadi kepala adalah 5/10 = 0,5 atau, sebagai persentase, 50%.
Setelah peristiwa itu terjadi, kita dapat menghitung rata-rata matematis dari berapa kali setiap peristiwa telah terjadi. Sisi mahal telah keluar satu dari setiap dua kali, yaitu 50% dari waktu. Mean sesuai dengan harapan matematis.
Perhitungan ekspektasi matematis
Ekspektasi matematis dihitung dengan menggunakan probabilitas setiap kejadian. Rumus yang memformalkan perhitungan ini dinyatakan sebagai berikut:
Di mana:
- X = nilai kejadian.
- P = Peluang terjadinya.
- i = Periode terjadinya peristiwa tersebut.
- N = Jumlah periode atau pengamatan.
Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi tidak selalu sama, seperti halnya koin. Ada banyak kasus di mana satu peristiwa lebih mungkin terjadi daripada yang lain. Itulah mengapa kita menggunakan P. Dalam rumus, juga, ketika menghitung bilangan matematika kita harus mengalikannya dengan nilai kejadiannya. Di bawah ini kita melihat sebuah contoh.
Untuk apa ekspektasi matematis digunakan?
Ekspektasi matematis digunakan dalam semua disiplin di mana kehadiran peristiwa probabilistik melekat pada mereka. Disiplin seperti statistik teoretis, fisika kuantum, ekonometrika, biologi, atau pasar keuangan. Sejumlah besar proses dan peristiwa yang terjadi di dunia tidak akurat. Contoh yang jelas dan mudah dipahami adalah pasar saham.
Di pasar saham, semuanya dihitung berdasarkan nilai yang diharapkan.Mengapa nilai yang diharapkan? Karena itu yang kita harapkan akan terjadi, tapi kita tidak bisa memastikannya. Semuanya didasarkan pada probabilitas, bukan kepastian. Jika nilai ekspektasi atau ekspektasi matematis dari pengembalian suatu aset adalah 10% per tahun, berarti berdasarkan informasi yang kita miliki dari masa lalu, kemungkinan besar pengembaliannya akan menjadi 10% lagi. Jika kita hanya memperhitungkan, tentu saja, ekspektasi matematis sebagai metode untuk membuat keputusan investasi kita.
Dalam teori pasar keuangan, banyak yang menggunakan konsep ekspektasi matematis ini. Di antara teori-teori itu adalah teori yang dikembangkan oleh Markowitz tentang dompet yang efisien .
Dalam angka, menyederhanakan banyak, misalkan pengembalian aset keuangan adalah sebagai berikut:
Profitabilitas di tahun 1, 2, 3 dan 4.
- 12%.
- 6%.
- limabelas%
- 12%
Nilai yang diharapkan akan menjadi jumlah pengembalian dikalikan dengan probabilitas terjadinya. Probabilitas bahwa setiap profitabilitas “terjadi” adalah 0,25. Kita memiliki empat pengamatan, empat tahun. Setiap tahun mereka memiliki kemungkinan yang sama untuk mengulangi diri mereka sendiri.
Harapan = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Dengan mempertimbangkan informasi ini, kita akan mengatakan bahwa ekspektasi pengembalian aset adalah 11,25%.
Harapan hidup