Teorema Gauss-Markov adalah sekumpulan asumsi yang harus dipenuhi oleh estimator OLS (Ordinary Least Squares) agar dapat dianggap ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator). E l Gauss-Markov teorema dirumuskan oleh Carl Friedrich Gauss dan Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss dan Andréi Márkov menetapkan beberapa asumsi sehingga penduga OLS dapat menjadi ELIO.
Jika 5 asumsi ini terpenuhi, kita dapat menegaskan bahwa estimator adalah yang memiliki varians minimum (paling tepat) dari semua estimator linier dan tak bias. Jika salah satu asumsi dari tiga yang pertama gagal (Linearitas, Null mean-strict exogeneity atau Non-perfect multicollinearity), estimator OLS tidak lagi bias. Jika hanya 4 atau 5 yang gagal (Homoskedastisitas dan Tidak ada autokorelasi), estimator masih linier dan tidak bias, tetapi bukan lagi yang paling akurat. Ringkasnya, Teorema Gauss-Markov menyatakan bahwa:
Dengan asumsi 1, 2 dan 3, estimator OLS linear dan tidak bias. Namun, tidak selalu ketiga asumsi pertama terpenuhi, dapat dipastikan bahwa estimator tidak bias. Agar penduga juga konsisten, kita harus memiliki sampel yang besar, semakin banyak semakin baik.
Dengan asumsi 1, 2, 3, 4 dan 5, estimator OLS adalah linier, tidak bias dan optimal (ELIO).
Asumsi teorema Gauss-Markov
Secara khusus, ada 5 asumsi:
- Model linier dalam parameter
Ini adalah asumsi yang cukup fleksibel. Hal ini memungkinkan untuk menggunakan fungsi dari variabel yang menarik.
- Null mean dan eksogenitas yang ketat
Ini menyiratkan bahwa nilai rata-rata dari kesalahan bersyarat pada penjelasan sama dengan nilai harapan tanpa syarat dan sama dengan nol. Selanjutnya, eksogenitas yang ketat mensyaratkan bahwa kesalahan caral tidak berkorelasi dengan pengamatan apa pun.
Null artinya:
Eksogenitas yang ketat:
Rata-rata nol dan eksogenitas ketat gagal jika:
Model tidak ditentukan dengan baik (misalnya, penghilangan variabel yang relevan).
Ada kesalahan pengukuran pada variabel (data belum ditinjau).
Dalam deret waktu, eksogenitas ketat gagal dalam caral endogenitas tertunda (meskipun eksogenitas kontemporer mungkin ada) dan dalam kasus di mana ada efek umpan balik.
Dalam data cross-sectional, jauh lebih mudah untuk mencapai asumsi eksogenitas daripada dalam kasus deret waktu.
- Tidak ada multikolinearitas yang tepat
Dalam sampel, tidak ada variabel penjelas yang konstan. Tidak ada hubungan linier yang pasti antara variabel penjelas. Itu tidak mengecualikan beberapa (tidak sempurna) korelasi antara variabel. Menurut Gauss dan Markov, ketika sebuah caral memiliki multikolinearitas yang tepat, biasanya karena kesalahan analis.
- Homoskedastisitas
Varians kesalahan, dan oleh karena itu dari Y, tidak tergantung pada nilai penjelas dan, di samping itu, varians dari kesalahan konstan. Secara matematis dinyatakan sebagai:
Berikut adalah rangkaian data dengan kenampakan homoskedastis.
- Tidak ada autokorelasi
Istilah kesalahan dari dua pengamatan yang berbeda bersyarat pada X tidak berhubungan. Jika sampelnya acak, tidak akan ada autokorelasi.
Dimana i harus memiliki nilai yang berbeda dari h. Jika sampelnya acak, data dan kesalahan pengamatan “i” dan “h” akan independen untuk setiap pasangan pengamatan “i” dan “h”.